COVID-19 e modelli matematici

La pandemia di COVID-19 ha avuto un enorme impatto sulle nostre vite. Questo impatto ha avuto conseguenze su tutti i settori della società, e in particolare nel mondo scientifico: il COVID-19 Open Research Dataset, una vasta raccolta di articoli sul COVID-19, conta più di 280000 articoli ¹ Semantic Scholar, COVID-19 Open Research Dataset.

Questo tipo di ricerca è stata favorita dalla mole di dati messa a disposizione dai vari governi e centri di ricerca, come ad esempio il database italiano della Protezione Civile²Protezione Civile e Presidenza del Consiglio dei Ministri, Dati COVID-19 Italia e quello mondiale della John Hopkins University ³John Hopkins University, Coronavirus Resource Center.

In questo contesto, la ricerca sui modelli matematici per cercare di predire l’andamento dell’epidemia e per avere informazioni sul tipo di malattia ha avuto uno sviluppo incredibile: nuovi modelli e metodologie sono state proposti, anche per valutare l’effetto delle misure contenitive e predire le necessità degli ospedali. Tuttavia, questo campo di ricerca non è per nulla nuovo. Tanti modelli sono stati adoperati per lo studio delle malattie dello scorso secolo, ‘figli’ dei primi modelli proposti, databili addirittura al 1927: i modelli SIR e SEIR di Kermack e McKendrick ⁴W. O. Kermack e A. G. McKendrick, A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society A, vol. 115, n. 772, 1927. 

Questi modelli si basano sulla suddivisione della popolazione in ‘compartimenti’, ad esempio in Suscettibili (popolazione infettabile ma non infetta), Infetti, Rimossi. I Suscettibili entrano nella categoria degli Infetti con un tasso (numero di persone per un determinato intervallo temporale) proporzionale al numero di Suscettibili stessi e al numero di Infetti (più infetti ci sono, o più infettabili ci sono, più contatti infetto-sano avvengono). Gli Infetti guariscono o muoiono ed entrano nella categoria dei Rimossi con un tasso proporzionale al loro numero (più ce ne sono, più guariscono o muoiono). In formule semplificate: 

St+h-Sth=- β StNIt

It+h-Ith= β StNIt-γ It     

Rt+h-Rth= γ It

dove N è il numero totale degli individui, è il coefficiente di infettività (numero medio di contatti di un individuo per probabilità di contagio ad ogni contatto), il coefficiente di rimozione e h l’intervallo temporale fra un conteggio degli individui in una categoria e il successivo (partendo dal momento t). Tale intervallo temporale, nei modelli più raffinati, deve essere piccolo. Nel modello SEIR, si tiene conto dell’incubazione aggiungendo una categoria di Esposti all’infezione, non ancora malati.

I modelli utilizzati per il COVID-19 sono più complessi (un esempio sono i modelli proposti per la Cina ⁵B. Tang, X. Wang, Q. Li, N. Bragazzi, S. Tang, Y. Xiao e J. E. Wu, Estimation of the Transmission Risk of the 2019-nCoV and Its Implication for Public Health Interventions, Journal of Clinical Medicine, vol. 9, n. 2, 2020. e l’Italia ⁶G. Giordano, F. Blanchini, R. Bruno, P. Colaneri, A. Di Filippo, A. Di Matteo e M. Colaneri, Modelling the COVID-19 epidemic and implementation of population-wide interventi). Infatti, da un lato essi tengono conto della popolazione infetta a rischio di morte (ospedalizzati e terapie intensive), con apposite categorie e ‘flussi’ fra categorie ad hoc, e dall’altro devono tener conto della presenza di individui infetti ma non scoperti come tali (con apposite categorie, distinte magari in base alla gravità della malattia). 

Tali modelli vengono ancorati ai dati cercando i parametri (per il SIR sarebbero e ) per i quali i modelli danno evoluzioni delle variabili che siano più vicine possibili ai dati (la distanza è calcolata secondo precise funzioni). Questi parametri sono caratteristici della malattia, e possono dare informazioni sulle sue caratteristiche: il famoso R₀ è la combinazione di questi parametri che indica il numero di nuovi infetti a partire da un singolo infetto in una popolazione completamente sana.

Un diverso tipo di modelli molto usato è quello stocastico. In questi modelli, i flussi fra categorie vengono generati da certi numeri casuali la cui distribuzione è governata da coefficienti dello stesso tipo di quelli visti prima. L’ancoraggio ai dati viene effettuato simulando più volte il modello per ogni insieme di parametri (ogni volta i risultati sono diversi data la natura casuale). Dopo vengono valutati i parametri che danno l’insieme di evoluzioni più probabile.

L’estensione probabilmente più interessante è quella relativa ai modelli ad agenti su reti. Infatti, per sua natura la diffusione dell’epidemia è governata da agenti (noi persone) che si spostano su una rete di posti (casa, lavoro) attraverso dei collegamenti. Basandosi sui modelli visti prima, grazie alla possibilità di sfruttare i dati sui trasporti e sulla telefonia, essi sono i perfetti candidati per una modellizzazione accurata. In questo caso, infatti, anche l’intelligenza artificiale può aiutare nella loro valutazione. 

Ovviamente, questi modelli possono incorporare l’utilizzo di un vaccino e la presenza di una platea di vaccinati. L’evidenza scientifica sull’efficacia del vaccino può essere valutata anche in questo senso.

I modelli matematici, data la loro utilità, si candidano ad avere un ruolo sempre più forte nel fornire informazioni sulla malattia, sull’efficacia dei vaccini e sulle misure di contenimento e nel predire eventuali future ondate o nuove epidemie. Infatti, con dataset più precisi e modellistica più raffinata, è ragionevole pensare alla possibilità che diventino uno strumento ancora più valido nella lotta alle epidemie.

[Articolo di Alessandro Lento]

Fonti:

[1] Semantic Scholar, COVID-19 Open Research Dataset
[2] Protezione Civile e Presidenza del Consiglio dei Ministri, Dati COVID-19 Italia
[3] John Hopkins University, Coronavirus Resource Center
[4] W. O. Kermack e A. G. McKendrick, A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proceedings of the Royal Society A, vol. 115, n. 772, 1927.
[5] B. Tang, X. Wang, Q. Li, N. Bragazzi, S. Tang, Y. Xiao e J. E. Wu, Estimation of the Transmission Risk of the 2019-nCoV and Its Implication for Public Health Interventions, Journal of Clinical Medicine, vol. 9, n. 2, 2020.
[6] G. Giordano, F. Blanchini, R. Bruno, P. Colaneri, A. Di Filippo, A. Di Matteo e M. Colaneri, Modelling the COVID-19 epidemic and implementation of population-wide interventions in Italy, Nature Medicine , vol. 26, p. 855–860, 2020.
Illustrazione in copertina di Dalila Amendola